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e  

2007-09-27 20:36:35|  分类: 工作側記 |  标签: |举报 |字号 订阅

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e是在x=0点上f (x)=ex(蓝色曲线)的导数(切线的斜率)值为1的唯一的一个数。对比一下,函数2x (虚点曲线)和4x (虚线曲线)和斜率为1的直线(红色)并不相切。
e是在x=0点上f (x)=ex(蓝色曲线)的导数(切线的斜率)值为1的唯一的一个数。对比一下,函数2x (虚点曲线)和4x (虚线曲线)和斜率为1的直线(红色)并不相切。

e,作为数学常数,是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数Euler number),以瑞士数学家欧拉命名;也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它的数值约是(小数点后10位):

e ≈ 2.7182818284

就像圆周率π虚数单位ie是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义,下面列出一部份:

目录

[编辑] 定义

最常见的四种e的定义如下:

1. 定义e 为下列极限值:
e = lim_{ntoinfty} left(1+frac{1}{n}right)^n
2. 定义e为下列无穷级数之和:
e = sum_{n=0}^infty {1 over n!} = {1 over 0!} + {1 over 1!}   + {1 over 2!} + {1 over 3!}   + {1 over 4!} + cdots
其中n!表n阶乘
3. 定义e为唯一的数x > 0使得
int_{1}^{x} frac{1}{t} , dt = {1}
4. 定义e为唯一的数使得
lim_{hto 0}frac{e^h-1}{h}=1

这些定义可证明是等价的。

[编辑] 性质

很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数ex重要在它是唯一的函数与其导数相等(乘以常数,最一般的函数形式为kexk为任意常数)。

frac{d}{dx}e^x=e^x

e无理数超越数(见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass))。这是第一个获证为超越数,而非故意构造的(比较刘维尔数);由夏尔·埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。有猜想它为正规数。它出现在数学中一条很重要的等式,称为欧拉公式

e^{ix} = cos,x + isin,x ,!

x = π的特例是欧拉恒等式

e^{ipi} + 1 = 0 ,!

这式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。

e的无穷连分数展开式有个有趣的模式,可以表示如下:

e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12,ldots] ,

[编辑] 无理数证明

证明e是无理数可以用反证法。假设e有理数,则可以表示成a / b,其中a,b为正整数。以e的无穷级数展开式可以得出矛盾。

考虑数字

x = b,! left(e-sum_{i=0}^b {1 over n,!}right)

以下将推导出x是小于1的正整数;由于不存在这样的正整数,得出矛盾,所以得证e是无理数。

  • x是整数,因为
0 < x = b,! left(e - sum_{i=0}^b {1 over n,!}right) = b,! left({a over b} - sum_{i=0}^b {1 over n,!}right)
= a (b-1)! - sum_{n=0}^b {b,! over n,!}
= a (b-1)! - left(1 + sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)cdots(n+1)right)
  • x是小于1的正数,因为
0 < x = b,! sum_{n=b+1}^infty {1 over n!}
= frac{1}{b+1} + frac{1}{(b+1)(b+2)} + frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + cdots
< frac{1}{b+1} + frac{1}{(b+1)^2} + frac{1}{(b+1)^3} + cdots = {1 over b} < 1

[编辑] 历史

第一次提到常数e,是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli),他尝试计算下式的值:

lim_{ntoinfty} left(1+frac{1}{n}right)^n

已知的第一次用到常数e,是莱布尼茨1690年1691年惠更斯的通信,以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数;而e第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然往后年日有研究者用字母c表示,但e较常用,终于成为标准。

e表示的确实原因不明,但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称abcd有其他经常用途,而e是第一个可用字母。不过,欧拉选这个字母的原因,不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母,因为他是个很谦虚的人,总是恰当地肯定他人的工作。

[编辑] e在数学外的用途

  • Google2004年首次公开募股,集资额不是通常的整头数,而是$2,718,281,828,这当然是取最接近整数的e十亿美元。(顺便一提,Google2005年的一次公开募股中,集资额是$14,159,265,与圆周率π有关)
  • Google也是首先在硅谷心脏地带,接着在麻萨诸塞州剑桥出现的神秘广告版的幕后黑手,它写著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com(在e的连续数字中第一个发现的十位质数.com)。解决了这问题(第一个e中的十位质数是7427466391,出奇地到很后才出现,由第100个数字开始),进入网站后还有个更难的题目要解决,最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束,上述网站都已关闭。
  • 著名计算机科学家高德纳的软件METAFONT的版本号码趋向e(就是说版本号码是2,2.7,2.71,2.718等)。

[编辑] 参见

维基文库中与本条目相关的原始文献:
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